Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, все грани которой наклонены к основанию под углом 45°, а в основании лежит квадрат с диагональю, равной 18√2.
Варианты ответов:
а) 324√2
б) 162√2
в) 81√2
г) другой ответ

Правильный ответ: а) $324\sqrt{2}$.

Подробное решение

Дано:

• В основании пирамиды лежит квадрат.

• Диагональ квадрата $d=18\sqrt{2}$.

• Все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$.

Найти: площадь боковой поверхности пирамиды $S_{\text{бок}}$.

Шаг 1. Найдём сторону квадрата

Диагональ квадрата выражается через его сторону по формуле:

Отсюда:

Таким образом, сторона основания равна:

Шаг 2. Найдём апофему пирамиды

Поскольку все боковые грани наклонены к основанию под одинаковым углом $45^\circ$, проекция вершины пирамиды находится в центре квадрата.

Апофема пирамиды — это высота боковой треугольной грани, проведённая из вершины к стороне основания.

Обозначим апофему через $l$.

Расстояние от центра квадрата до середины его стороны равно половине стороны:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и отрезком длиной $9$ в основании.

Угол между апофемой и плоскостью основания равен $45^\circ$.

По определению косинуса:

Так как:

Получаем:

Отсюда:

Таким образом, апофема пирамиды равна:

Шаг 3. Вычислим площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле:

где:

• $P_{\text{осн}}$ — периметр основания;

• $l$ — апофема пирамиды.

Периметр квадратного основания:

Подставляем значения: