Прямоугольная трапеция с основанием 5 см и 8 см и высотой 4 см вращается около болшего основания. Найдите объем тела вращения.

Для нахождения объема тела вращения, образующегося при вращении прямоугольной трапеции около большего основания, можно воспользоваться формулой объема тела вращения для фигуры, полученной вращением трапеции вокруг оси.

1. Данные задачи:

   • Большое основание трапеции $a = 8 \, \text{см}$.
   • Меньшее основание $b = 5 \, \text{см}$.
   • Высота трапеции $h = 4 \, \text{см}$.

2. Представление трапеции как фигуры с двумя параллельными основаниями: Трапеция будет вращаться вокруг большего основания, и образует тело, которое напоминает усеченный конус (с двумя основаниями). Для такого тела объем можно найти по формуле для объема усеченного конуса:

   $$V = \frac{1}{3} \pi h \left( R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2 \right)$$

   где:

   • $h$ — высота (расстояние между основаниями),
   • $R_1$ — радиус большого основания,
   • $R_2$ — радиус малого основания.

3. Определение радиусов:

   • Большое основание $R_1 = 8 \, \text{см}$.
   • Меньшее основание $R_2 = 5 \, \text{см}$.

4. Подставляем значения в формулу для объема:

   $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \left( 8^2 + 8 \cdot 5 + 5^2 \right)$$ $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \left( 64 + 40 + 25 \right)$$ $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 129$$ $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 516$$ $$V = 172 \pi$$

5. Ответ: Объем тела вращения равен $172 \pi \, \text{см}^3$, или примерно 539.65 см³.