1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите объем пирамиды.

2. В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 4а, а прилежащий угол равен 60°. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол 45°. Найдите объем цилиндра.



К.р.7. Вариант 4.

1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 12 см и составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем пирамиды.

2. В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 4а, а прилежащий угол равен 30°. Боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью ее основания угол 45°. Найдите объем конуса.


ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ СРОЧНЕНЬКО !

Давайте разберем задачи по очереди.

Задача 1: Апофема правильной треугольной пирамиды

Дано:

• Апофема пирамиды $a = 6$ см.
• Двугранный угол при основании $\alpha = 60^\circ$.

Нужно найти объем пирамиды.

Решение:

1. Что такое апофема и двугранный угол? Апофема пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды до середины ребра основания (или перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания). Двугранный угол — это угол между боковыми гранями пирамиды, который в данном случае равен 60°.

2. Находим сторону основания: В правильной треугольной пирамиде все боковые грани равны между собой, и основания — правильные треугольники. Двугранный угол $\alpha$ связан с апофемой и высотой боковой грани через формулу:

   $$\cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{h}{a}$$

   где $h$ — высота боковой грани, а $a$ — апофема.

   Для $\alpha = 60^\circ$, получаем:

   $$\cos 30^\circ = \frac{h}{6}$$ $$h = 6 \cdot \cos 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.2 \text{ см}.$$

3. Объем пирамиды: Объем пирамиды можно найти по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h$$

   где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания. Основание пирамиды — правильный треугольник. Площадь правильного треугольника с длиной стороны $s$ вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$$

   Чтобы найти сторону основания, нужно использовать связи между апофемой и стороной основания. В правильной треугольной пирамиде отношение апофемы и половины стороны основания $s$ равно:

   $$\tan 30^\circ = \frac{\frac{s}{2}}{h}$$

   Подставляем $h = 3\sqrt{3}$:

   $$\tan 30^\circ = \frac{s}{2 \cdot 3\sqrt{3}}$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{s}{6\sqrt{3}}$$

   Отсюда:

   $$s = 2 \text{ см}.$$

4. Площадь основания:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \text{ см}^2.$$

5. Объем пирамиды:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 3 \text{ см}^3.$$

Задача 2: Призма, вписанная в цилиндр

Дано:

• Основанием призмы служит прямоугольный треугольник с катетами $4a$ и углом 60°.
• Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью основания угол 45°.

Нужно найти объем цилиндра.

Решение:

1. Площадь основания призмы: Основание призмы — прямоугольный треугольник с катетами $4a$ и углом 60°. Площадь этого треугольника можно найти по формуле:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot 4a \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 16a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4a^2 \sqrt{3}.$$

2. Радиус основания цилиндра: Для вычисления объема цилиндра нужно найти радиус его основания. Диагональ б