В квадрат, сторона которого равна 12 см, вписан другой квадрат, вершины которого являются серединами сторон первого квадрата, в этот квадрат вписан таким же образом другой квадрат, и т.д. (см.рис.).

Найди сумму площадей всех квадратов.

Задача о вложенных квадратах, где каждый следующий квадрат вписывается таким образом, что его вершины находятся в серединах сторон предыдущего квадрата.

1. Начальный квадрат:
   Площадь первого квадрата, у которого сторона равна 12 см, вычисляется по формуле площади квадрата:
   $S_1 = a^2 = 12^2 = 144 \, \text{см}^2.$

2. Второй квадрат:
   Второй квадрат вписан в первый таким образом, что его вершины — середины сторон первого квадрата. Если рассматривать первый квадрат как внешний, то второй квадрат будет иметь диагональ, равную стороне первого квадрата. Диагональ квадрата и его сторона связаны формулой: $d = a\sqrt{2},$ где $d$ — диагональ квадрата, $a$ — его сторона.

Таким образом, диагональ второго квадрата равна 12 см. Из этой связи можно найти сторону второго квадрата:

Площадь второго квадрата:

3. Третий квадрат:
   Третий квадрат вписан во второй, и его диагональ равна стороне второго квадрата. То есть, диагональ третьего квадрата равна $6\sqrt{2}$. Используя аналогичное рассуждение, находим сторону третьего квадрата:

Площадь третьего квадрата:

4. Четвертый квадрат:
   Площадь четвертого квадрата можно найти аналогичным образом. Его диагональ равна стороне третьего квадрата, то есть 6 см. Находим сторону четвертого квадрата:

Площадь четвертого квадрата:

5. Продолжаем аналогично:
   Каждый следующий квадрат имеет сторону, в $\sqrt{2}$ раз меньшую, чем сторона предыдущего квадрата, и его площадь в 2 раза меньше площади предыдущего квадрата.

Итак, последовательность площадей всех квадратов будет выглядеть так:

Эти площади образуют геометрическую прогрессию с первым членом $S_1 = 144$ и знаменателем $\frac{1}{2}$.

6. Найдем сумму всех площадей:
   Сумма всех членов этой геометрической прогрессии вычисляется по формуле: