При каком натуральном n значение выражения n⁴ + 4 является простым числом?

Выражение $n^4+4$ является простым числом только при $n=1$.

Докажем это.

Воспользуемся формулой разности квадратов:

Сгруппируем слагаемые:

Применим формулу:

Получим:

Теперь рассмотрим два случая.

1. Если $n=1$:

Число $5$ является простым.

2. Если $n>1$:

Оба множителя являются натуральными числами, причём:

а также

Следовательно, выражение $n^4+4$ представляется в виде произведения двух натуральных чисел, больших единицы. Значит, оно является составным числом.

Ответ: