Докажите что при любом натуральном значении n значение выражения 21^n + 9 * 13^n - 2 * 5^n+1 кратно 8

Давайте докажем, что выражение $21^n + 9 \cdot 13^n - 2 \cdot 5^{n+1}$ кратно 8 при любом натуральном значении $n$.

Шаг 1: Представление чисел по модулю 8

Для начала выясним, как числа $21^n$, $9 \cdot 13^n$ и $2 \cdot 5^{n+1}$ ведут себя по модулю 8. Это поможет нам работать с остатками при делении на 8 и сократить вычисления.

1. $21 \mod 8$:

   $$21 \div 8 = 2 \text{ (остаток 5)}, \quad 21 \equiv 5 \pmod{8}$$

   Следовательно, $21^n \equив 5^n \pmod{8}$.

2. $13 \mod 8$:

   $$13 \div 8 = 1 \text{ (остаток 5)}, \quad 13 \equiv 5 \pmod{8}$$

   Следовательно, $13^n \equiv 5^n \pmod{8}$.

3. $5 \mod 8$:

   $$5 \equiv 5 \pmod{8}$$

   Следовательно, $5^n \equiv 5^n \pmod{8}$.

Теперь мы знаем, что нам нужно рассмотреть выражения $5^n$ и $5^{n+1}$ по модулю 8.

Шаг 2: Поведение $5^n$ по модулю 8

Рассмотрим, как возводится число 5 в степени по модулю 8:

• $5^1 \equiv 5 \pmod{8}$
• $5^2 = 25 \equiv 1 \pmod{8}$
• $5^3 = 125 \equив 5 \pmod{8}$
• $5^4 = 625 \equив 1 \pmod{8}$

Здесь мы видим, что $5^n$ по модулю 8 периодично с периодом 2:

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь вернемся к исходному выражению $21^n + 9 \cdot 13^n - 2 \cdot 5^{n+1}$.

1. Так как $21^n \equiv 5^n \pmod{8}$ и $13^n \equив 5^n \pmod{8}$, то:

   $$21^n + 9 \cdot 13^n \equiv 5^n + 9 \cdot 5^n = 10 \cdot 5^n \pmod{8}$$

   Поскольку $10 \equiv 2 \pmod{8}$, то:

   $$10 \cdot 5^n \equiv 2 \cdot 5^n \pmod{8}.$$

2. Выражение $-2 \cdot 5^{n+1}$ по модулю 8:

   $$-2 \cdot 5^{n+1} = -2 \cdot 5 \cdot 5^n \equiv -10 \cdot 5^n \equiv -2 \cdot 5^n \pmod{8}.$$

Шаг 4: Окончательный результат

Теперь сложим оба выражения: