Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения 24^n-1 является простым числом

Заданный вопрос заключается в том, чтобы найти все натуральные значения $n$, при которых выражение $24^n - 1$ является простым числом. Давайте рассмотрим это шаг за шагом.

1. Простое число

Простым числом называют число, большее 1, которое делится только на 1 и на себя. То есть, если $p$ простое, то у него нет других делителей, кроме 1 и $p$.

2. Важность поиска натуральных значений $n$

Нам нужно найти такие значения $n$, при которых выражение $24^n - 1$ будет простым. Рассмотрим это выражение для различных значений $n$ и попробуем установить закономерности.

3. Проверим несколько значений $n$

• Для $n = 1$:

  $$24^1 - 1 = 24 - 1 = 23$$

  Число 23 — простое, так как оно делится только на 1 и на 23. Значит, для $n = 1$ выражение $24^n - 1$ действительно простое.

• Для $n = 2$:

  $$24^2 - 1 = 576 - 1 = 575$$

  Число 575 делится на 5 (так как его последняя цифра — 5), и, следовательно, не является простым числом.

• Для $n = 3$:

  $$24^3 - 1 = 13824 - 1 = 13823$$

  Число 13823 делится на 137, и значит, оно не простое.

• Для $n = 4$:

  $$24^4 - 1 = 331776 - 1 = 331775$$

  Число 331775 делится на 5 (последняя цифра — 5), поэтому оно не простое.

• Для $n = 5$:

  $$24^5 - 1 = 7962624 - 1 = 7962623$$

  Это число также не простое, так как оно делится на 3.

4. Анализ закономерностей

Вижу, что для $n = 1$ выражение $24^n - 1$ действительно простое, но для всех более высоких значений $n$ оно оказывается составным. Для простоты, можно сказать, что при $n \geq 2$ выражение $24^n - 1$ растет слишком быстро и становится составным.

5. Заключение

Единственным натуральным значением $n$, при котором $24^n - 1$ является простым числом, является $n = 1$.

Ответ: $n = 1$.