На предприятии работают 29 человек. Из них 15 человек знают немецкий язык, 21 - английский и 8 знают 2 языка. Сколько сотрудников фирмы не знают ни один из этих языков?

Для решения задачи нужно воспользоваться формулой включения-исключения, чтобы определить, сколько сотрудников знают хотя бы один из языков, а затем вычесть это число из общего количества сотрудников.

1. Обозначим множества:

   • $A$: сотрудники, знающие немецкий язык ($|A| = 15$).
   • $B$: сотрудники, знающие английский язык ($|B| = 21$).
   • $|A \cap B| = 8$: сотрудники, знающие оба языка.

2. Найдем количество сотрудников, знающих хотя бы один язык: Формула включения-исключения для объединения двух множеств:

   $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

   Подставляем значения:

   $$|A \cup B| = 15 + 21 - 8 = 28$$

   Это число сотрудников, которые знают хотя бы один язык.

3. Вычислим количество сотрудников, которые не знают ни одного языка: Из общего числа сотрудников ($29$) вычитаем тех, кто знает хотя бы один язык:

   $$\text{Количество сотрудников, не знающих ни одного языка} = 29 - |A \cup B| = 29 - 28 = 1$$

Ответ: На фирме 1 сотрудник не знает ни немецкого, ни английского языка.