Постройте график функции y=x^2+4x+2 найдите по графику а) нули функции б) промежутки в которых y<0, y>0
в)промежутки убывания и возрастания функции
Г)наименьшее ее значение

Чтобы построить график функции $y = x^2 + 4x + 2$, мы можем воспользоваться методом выделения полного квадрата или использовать формулу для нахождения корней. Давайте рассмотрим шаги для построения графика и анализа функции.

1. Построение графика функции

Функция $y = x^2 + 4x + 2$ является квадратичной, и ее график будет параболой. Чтобы понять форму графика, выделим полный квадрат:

Теперь мы видим, что парабола открывается вверх (коэффициент перед $x^2$ положительный) и имеет вершину в точке $(-2, -2)$.

2. Нули функции

Чтобы найти нули функции, решим уравнение $y = 0$:

Используем дискриминант:

Корни можно найти по формуле:

Таким образом, нули функции находятся в точках:

3. Промежутки, в которых $y < 0$ и $y > 0$

Теперь определим, где функция положительна, а где отрицательна. Поскольку парабола открывается вверх и вершина функции находится в точке $(-2, -2)$, можно сделать следующие выводы:

• $y < 0$ на промежутке между корнями:

  $$(-2 - \sqrt{2}, -2 + \sqrt{2})$$

• $y > 0$ за пределами этого промежутка:

  $$(-\infty, -2 - \sqrt{2}) \cup (-2 + \sqrt{2}, +\infty)$$

4. Промежутки убывания и возрастания функции

Для определения промежутков убывания и возрастания функции найдем производную:

Устанавливаем производную равной нулю для нахождения критических точек:

• Функция возрастает на промежутках:

  $$(-2, +\infty)$$

• Функция убывает на промежутках:

  $$(-\infty, -2)$$

5. Наименьшее значение функции

Наименьшее значение функции соответствует значению в вершине параболы, которая находится в точке $(-2, -2)$. Таким образом, наименьшее значение функции:

Итоги

• Нули функции: $x_1 = -2 - \sqrt{2}, \quad x_2 = -2 + \sqrt{2}$
• Промежутки:
  • $y < 0$: $(-2 - \sqrt{2}, -2 + \sqrt{2})$
  • $y > 0$