помогите пожалуйста решить уравнение 3sinx+4cosx=1

Решим заменой \(t=\tan\frac{x}{2}\):

\[\sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.\]

Подставим в уравнение:

\[3\cdot\frac{2t}{1+t^2}+4\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}=1.\]

После упрощения получаем:

\[5t^2-6t-3=0.\]

\[t=\frac{3\pm2\sqrt6}{5}.\]

Так как \(t=\tan\frac{x}{2}\), ответ:

\[x=2\arctan\frac{3+2\sqrt6}{5}+2\pi n\]

или

\[x=2\arctan\frac{3-2\sqrt6}{5}+2\pi n, \qquad n\in\mathbb Z.\]

0 0 Пожаловаться