Уравнение r=5/3-4cosx.надо найти область определения

Давайте разберемся, как найти область определения уравнения $r = \frac{5}{3 - 4\cos(x)}$.

Шаг 1. Определение области существования выражения

Уравнение имеет дробный вид, поэтому область определения будет зависеть от того, где знаменатель обращается в ноль. Дробь определена тогда и только тогда, когда знаменатель не равен нулю.

Знаменатель выражения:

Чтобы найти точки, где дробь не определена, приравняем знаменатель к нулю:

Решаем это уравнение:

Шаг 2. Выражение $\cos(x)$ допустимо

Косинус — функция, значение которой лежит в интервале $[-1, 1]$. Поскольку $\frac{3}{4}$ попадает в этот диапазон, это уравнение имеет решение.

Шаг 3. Выражение для исключения точек

В тех точках, где $\cos(x) = \frac{3}{4}$, знаменатель обращается в ноль, а следовательно, дробь не определена. Осталось найти $x$, где $\cos(x) = \frac{3}{4}$. Решение этого уравнения:

Шаг 4. Итоговая область определения

Область определения функции $r$ — все значения $x$, кроме точек, где $x = \pm \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Запись области определения:

Шаг 5. Пояснение

• В этих точках знаменатель становится равным нулю, а $r$ становится неопределенным.
• В остальных случаях $r$ определен и существует.