Доказать тождества
1)cos3x=4cos^3x-3cosx
2)sin3x=3sinx-4sin^3x

Чтобы доказать тождества $\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$ и $\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)$, можно воспользоваться формулами для косинуса и синуса тройного угла. Давайте разберем оба доказательства по порядку.

Доказательство первого тождества: $\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$

1. Используем формулу косинуса тройного угла:
   Для косинуса тройного угла у нас есть формула:

   $$\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$$

   Фактически, эта формула уже является ответом, так как нам нужно доказать именно её. Однако мы можем вывести её, используя стандартные формулы для суммы углов.

2. Записываем $\cos(3x)$ как $\cos(2x + x)$:
   Воспользуемся формулой для косинуса суммы:

   $$\cos(3x) = \cos(2x + x) = \cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x)$$

3. Выражаем $\cos(2x)$ и $\sin(2x)$ через $\cos(x)$ и $\sin(x)$:
   Напомним, что:

   $$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$$

   и

   $$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$

   Подставим эти выражения в формулу для $\cos(3x)$:

   $$\cos(3x) = (2\cos^2(x) - 1)\cos(x) - (2\sin(x)\cos(x))\sin(x)$$

4. Упрощаем выражение:
   Раскроем скобки:

   $$\cos(3x) = 2\cos^3(x) - \cos(x) - 2\sin^2(x)\cos(x)$$

   Поскольку $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$, заменим $\sin^2(x)$:

   $$\cos(3x) = 2\cos^3(x) - \cos(x) - 2(1 - \cos^2(x))\cos(x)$$

   Раскроем скобки:

   $$\cos(3x) = 2\cos^3(x) - \cos(x) - 2\cos(x) + 2\cos^3(x)$$

   Объединим подобные члены:

   $$\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$$

   Таким образом, мы доказали первое тождество:

   $$\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$$

Доказательство второго тождества: $\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)$

1. Используем формулу синуса тройного угла:
   Для синуса тройного угла имеем формулу:

   $$\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)$$

   Чтобы получить это выражение, также разложим синус суммы.

2. Записываем $\sin(3x)$ как $\sin(2x + x)$:
   Применим формулу для синуса суммы:

   $$\sin(3x) = \sin(2x + x) = \sin(2x)\cos(x) + \cos(2x)\sin(x)$$

3. Подставляем выражения для $\cos(2x)$ и $\sin(2x)$:
   Напомним, что:

   $$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$

   и

   $$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$$

   Подставим эти значения в выражение для $\sin(3x)$:

   $$\sin(3x) = (2\sin(x)\cos(x))\cos(x) + (2\cos^2(x) - 1)\sin(x)$$

4. Упрощаем выражение:
   Раскроем скобки:

   $$\sin(3x) = 2\sin(x)\cos^2(x) + 2\cos^2(x)\sin(x) - \sin(x)$$