Вычислить предел. Желательно с подробным решением.

[tex] \lim_{x \to \pi/4} ( \frac{ \sqrt{2}-2cos(x) }{ \pi -4x} )[/tex]

Вычислим предел:

\[\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}-2\cos x}{\pi-4x}.\]

При \(x=\frac{\pi}{4}\) получаем неопределённость \(\frac{0}{0}\), поэтому применим правило Лопиталя: продифференцируем числитель и знаменатель.

\[\left(\sqrt{2}-2\cos x\right)'=2\sin x,\qquad \left(\pi-4x\right)'=-4.\]

Тогда:

\[\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}-2\cos x}{\pi-4x}=\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{2\sin x}{-4}=-\frac{\sin\frac{\pi}{4}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{4}.\]

Ответ: \(-\frac{\sqrt{2}}{4}\).

0 0 Пожаловаться