Ребро куба равно 1м. Муха ползает по рёбрам этого куба, не проходя по одному ребру дважды( но, возможно, проходя несколько раз через одну вершину). Какой самый длинный путь она сможет проползти?

Давайте разберём задачу.

Муха ползает по рёбрам куба, а это значит, что она может передвигаться только по линиям между вершинами. Куб имеет следующие характеристики:

• У него 12 рёбер.
• Каждое ребро длиной 1 метр.
• У куба 8 вершин, соединённых рёбрами.

Муха не может проходить по одному ребру дважды, но ей разрешено возвращаться к одной и той же вершине несколько раз. Цель — найти максимально длинный путь, который муха может пройти, следуя этим условиям.

Подход к решению

1. Максимально возможный путь: Если муха должна пройти как можно дольше, ей нужно побывать на каждом ребре ровно один раз, так как повторно проходить одно и то же ребро нельзя.

2. Структура куба и свойства графа: Куб является графом с 12 рёбрами. Если муха хочет пройти все рёбра ровно один раз, это называется маршрутом Эйлера.

   Для существования эйлерова пути граф должен:

   • Быть связным (все вершины связаны, что выполняется для куба).
   • Иметь либо 0, либо 2 вершины с нечётной степенью (степень вершины — количество рёбер, входящих в неё).

   У куба каждая вершина соединена с 3 другими вершинами (степень каждой вершины равна 3). Таким образом, у куба нет вершин с чётной степенью, поэтому эйлеров цикл невозможен. Однако эйлеров путь возможен, поскольку граф остаётся связным, и мы можем построить путь, который начинается в одной вершине и заканчивается в другой.

3. Длина пути: Поскольку муха проходит каждое ребро ровно один раз, а всего в кубе 12 рёбер, максимальная длина её пути составит:

   $$12 \, \text{метров}.$$

Пример маршрута

Муха может начать движение с любой вершины куба. Например:

• Начать в вершине $A$.
• Пройти через соседние рёбра последовательно, соблюдая правило «не повторяться».

На практике маршрут можно построить, следя за тем, чтобы каждое ребро использовалось ровно один раз. Итоговая длина пути всегда будет равна 12 метрам.

Ответ

Самый длинный путь, который может проползти муха, равен 12 метрам.