Ровно в 10:00 муравьи Петя и Вася начинают ползти по дорожке навстречу друг другу. Они встретились, когда Петя прополз ровно треть всей дорожки. На следующий день они снова ползли по той же дорожке навстречу друг другу, только Петя начал ползти в 10:00, а Вася — в 10:01, и до встречи Петя прополз половину дорожки. На третий день они снова ползли по той же дорожке навстречу, только Петя начал в 10:01, а Вася — в 10:00. Какую часть всего пути Петя успеет проползти до встречи?

Рассмотрим задачу поэтапно, анализируя каждую встречу муравьев Петя и Вася.

День 1:

Петя и Вася начинают ползти одновременно в 10:00. Они встретились в точке, когда Петя прополз ровно треть всей дорожки. Это означает, что Петя преодолел треть пути, а Вася — две трети. Таким образом, можно сделать вывод, что скорость Васи в два раза больше скорости Пети (если обозначить скорость Пети за $V$, тогда скорость Васи будет $2V$). Они вместе покрыли всю длину дорожки $L$, при этом Петя преодолел $\frac{L}{3}$, а Вася — $\frac{2L}{3}$.

День 2:

На следующий день Петя начал ползти в 10:00, а Вася — в 10:01, с разницей в одну минуту. На этот раз, когда они встретились, Петя прополз половину дорожки.

Поскольку Вася начал на минуту позже, это означает, что за эту минуту Петя успел проползти определенное расстояние. Из условий первого дня мы знаем, что соотношение скоростей Пети и Васи — $1:2$. Тогда за одну минуту Петя успевает пройти расстояние $\frac{L}{3}$, так как при своей скорости $V$ он за это время преодолевает треть дорожки $L$.

Так как Петя прополз половину пути до их встречи, значит, общее время их движения до встречи было $\frac{L}{2V}$ для Пети. Вася, начавший на минуту позже, прополз за это время расстояние, равное $\frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6}$, что соответствует его скорости $2V$ умноженной на время в пути.

День 3:

На третий день Петя начинает ползти в 10:01, а Вася — в 10:00.

Теперь разница в начале их движения в пользу Васи, поэтому за первую минуту он успеет проползти определенное расстояние со своей скоростью $2V$. За одну минуту Вася проползает $\frac{2L}{3} \div (L / (3V)) = \frac{L}{3}$.

Когда Петя начинает двигаться, Вася уже преодолел треть дорожки. Теперь они движутся навстречу друг другу, и их скорости относительно друг друга складываются: $V + 2V = 3V$.

До их встречи остается расстояние $L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$. На преодоление этого расстояния вдвоем с суммарной скоростью $3V$ им потребуется время $\frac{\frac{2L}{3}}{3V} = \frac{2}{9}L / V$.

Так как скорость Пети — $V$, за это время он успеет проползти расстояние $V \cdot \frac{2}{9}L / V = \frac{2L}{9}$.

Ответ:

На третий день Петя успеет проползти $\frac{2}{9}$ от всей длины дорожки до встречи с Васей.