4√2 * cos²(15π/8) - 2√2.

Для того чтобы решить выражение $(4\sqrt{2})\cos^2\left(\frac{15\pi}{8}\right) - 2\sqrt{2}$, давайте разобьем его на несколько этапов.

1. Рассмотрим косинус:

   Нам нужно вычислить значение $\cos\left(\frac{15\pi}{8}\right)$. Сначала определим угол $\frac{15\pi}{8}$ в градусах. Для этого умножим на $\frac{180^\circ}{\pi}$:

   $$\frac{15\pi}{8} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 337,5^\circ.$$

   Это угол в четвертом квадранте, так как он больше $270^\circ$, но меньше $360^\circ$.

   Косинус в четвертом квадранте положительный, и его значение можно найти, используя периодичность функции косинуса. Мы знаем, что $\cos(360^\circ - \theta) = \cos(\theta)$, и угол $337,5^\circ$ можно записать как $360^\circ - 22,5^\circ$. То есть $\cos(337,5^\circ) = \cos(22,5^\circ)$.

   Значение $\cos(22,5^\circ)$ можно выразить через известные тригонометрические значения, либо вычислить с помощью калькулятора. При вычислениях мы получаем:

   $$\cos\left(22,5^\circ\right) \approx 0,9239.$$

2. Возводим в квадрат:

   Теперь вычислим $\cos^2\left(\frac{15\pi}{8}\right)$, что равно $\left(0,9239\right)^2$:

   $$0,9239^2 \approx 0,852.$$

3. Умножаем на $4\sqrt{2}$:

   Следующий шаг — умножить результат на $4\sqrt{2}$. Значение $\sqrt{2}$ приближенно равно 1,414, и поэтому $4\sqrt{2} \approx 4 \times 1,414 = 5,656$. Теперь умножим:

   $$5,656 \times 0,852 \approx 4,818.$$

4. Вычитаем $2\sqrt{2}$:

   Осталось вычесть $2\sqrt{2}$, что равно $2 \times 1,414 = 2,828$. Теперь вычислим:

   $$4,818 - 2,828 \approx 1,990.$$

Таким образом, результат выражения $(4\sqrt{2})\cos^2\left(\frac{15\pi}{8}\right) - 2\sqrt{2}$ приближенно равен 1,990.