Как решать?
Сколько единиц в двоичной записи числа 8^1023 + 2^1024 – 3?

Для решения задачи найдем количество единиц в двоичной записи числа $8^{1023} + 2^{1024} - 3$.

1. Преобразование степени числа 8

Число $8^{1023}$ можно представить как степень числа $2$:

Теперь задача сводится к исследованию числа $2^{3069} + 2^{1024} - 3$.

2. Двоичная запись $2^{3069} + 2^{1024}$

В двоичной системе счисления степени числа 2 представлены как единица с определенным количеством нулей. Например:

Таким образом:

• $2^{3069}$ — это единица с 3069 нулями;
• $2^{1024}$ — это единица с 1024 нулями.

Складывая $2^{3069}$ и $2^{1024}$, в двоичной записи эти числа просто "накладываются", так как их единицы стоят в разных разрядах. Результат суммы:

Это число имеет две единицы в своей записи.

3. Вычитание 3

Теперь рассмотрим $2^{3069} + 2^{1024} - 3$. Заметим, что число $3$ в двоичной записи выглядит как $11$:

Вычитание $3$ из $2^{3069} + 2^{1024}$ изменяет только младшие разряды числа. Рассмотрим детально:

Старшие разряды

В $2^{3069} + 2^{1024}$ единицы находятся на позициях $3069$ и $1024$. Вычитание $3$ не затрагивает эти старшие разряды, так как разряды $3069$ и $1024$ значительно больше младших разрядов числа $3$.

Младшие разряды

Число $3$ уменьшает младшие разряды $2^{1024}$, изменяя только ближайшие к младшему биту единицы. После вычитания $3$ из $2^{1024}$ младшие разряды числа станут $...011$. Однако общее количество единиц не уменьшится, так как только младшие разряды будут изменены.

4. Итог

В результате вычитания $3$ из $2^{3069} + 2^{1024}$ общее количество единиц в двоичной записи числа останется прежним. Таким образом: