Задумайте любое трёхзначное число, не превышающее 300. Запишите шестизначное число, в записи которого дважды повторено исходное число. Полученное шестизначное число разделите на 13, результат разделите на 11 и на 7. У вас должно получиться исходное число. Почему получается такой результат?

Давайте разберемся, как решить эту задачу шаг за шагом.

1. Задумайте любое трёхзначное число, не превышающее 300. Пусть это число будет $x$, где $x$ — это трёхзначное число, например, 123, 200, или 299, но оно не больше 300.

2. Запишите шестизначное число, в записи которого дважды повторено исходное число. Здесь мы должны создать шестизначное число, которое состоит из двух повторений числа $x$. Если $x = 123$, то шестизначное число будет 123123. В общем случае, шестизначное число будет выглядеть так:

   $$N = 1000x + x = 1001x$$

   Это выражение основано на том, что, например, для $x = 123$:

   $$123123 = 1000 \times 123 + 123 = 1001 \times 123$$

3. Полученное шестизначное число разделите на 13. Следующий шаг — разделить число $N = 1001x$ на 13:

   $$\frac{1001x}{13} = 77x$$

   Это упрощение возможно, потому что 1001 делится на 13 без остатка. Таким образом, результат деления на 13 — это $77x$.

4. Результат разделите на 11. Теперь делим $77x$ на 11:

   $$\frac{77x}{11} = 7x$$

   То есть, после деления на 11, мы получаем $7x$.

5. Наконец, результат делим на 7. После того как мы разделили на 11, нам нужно ещё разделить результат на 7:

   $$\frac{7x}{7} = x$$

   В результате этого последнего деления мы возвращаемся к исходному числу $x$.

6. Почему получается такой результат? Все шаги в этой задаче связаны с тем, что числа, получаемые на каждом шаге, делятся друг на друга без остатка. Из самого начала мы построили шестизначное число, которое выражается как $1001x$. Число 1001 удобно тем, что оно делится на 13, 11 и 7, и на каждом шаге мы получаем целые числа, которые в итоге приводят нас обратно к $x$. То есть, вся последовательность делений сокращается так, что в итоге мы получаем то же самое исходное число.

Таким образом, задача работает благодаря тому, что число 1001 — это произведение 13, 11 и 7, и каждый из этапов деления эффективно отменяет один из этих множителей.