В прямоугольном параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁: AB = 2 см, AD = 3 см, AC₁ = 7 см. Найдите расстояние между прямыми AB и B₁C₁.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где
$AB=2$ см, $AD=3$ см, а пространственная диагональ $AC_1=7$ см.

1) Найдём высоту $AA_1$

В прямоугольном параллелепипеде диагональ $AC_1$ выражается через три взаимно перпендикулярных ребра, исходящих из точки $A$:

Подставим значения:

2) Расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$

Прямая $AB$ — нижнее ребро, а $B_1C_1$ — верхнее ребро, причём:

• $AB$ направлено вдоль ребра длины $AB$,

• $B_1C_1$ параллельно $BC$, то есть направлено вдоль ребра длины $AD$,

• следовательно, направления $AB$ и $B_1C_1$ взаимно перпендикулярны (одно вдоль $AB$, другое вдоль $AD$).

Ищем общий перпендикуляр к этим прямым. Заметим, что отрезок $BB_1$:

• соединяет точку $B$ на прямой $AB$ и точку $B_1$ на прямой $B_1C_1$,

• является вертикальным ребром параллелепипеда,

• перпендикулярен плоскости основания, значит перпендикулярен любому направлению в основании, в частности $AB$,

• а также перпендикулярен $B_1C_1$, потому что $B_1C_1$ лежит в верхнем основании и направлено горизонтально.

Значит, $BB_1$ — это как раз кратчайший отрезок между прямыми $AB$ и $B_1C_1$, то есть искомое расстояние.

Ответ: $6$ см.