В прямоугольном параллелепипеде АBСDА₁В₁С₁D₁ известны длины ребер AB=3√7, AD=9, AA₁=6. Найдите синус угла между прямыми СD и А₁С₁.

Для нахождения синуса угла между прямыми $CD$ и $A_1C_1$ в прямоугольном параллелепипеде, необходимо использовать векторный анализ.

1. Обозначим координаты вершин параллелепипеда:

   • Пусть точка $A(0, 0, 0)$.

   • Точка $B(3\sqrt{7}, 0, 0)$ (так как $AB = 3\sqrt{7}$).

   • Точка $D(0, 9, 0)$ (так как $AD = 9$).

   • Точка $A_1(0, 0, 6)$ (так как $AA_1 = 6$).

   • Точка $C(3\sqrt{7}, 9, 0)$.

   • Точка $C_1(3\sqrt{7}, 9, 6)$.

2. Векторы, направленные вдоль прямых $CD$ и $A_1C_1$, можно найти следующим образом:

   • Вектор $\vec{CD} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} = (3\sqrt{7}, 9, 0) - (0, 9, 0) = (3\sqrt{7}, 0, 0)$.

   • Вектор $\vec{A_1C_1} = \overrightarrow{C_1} - \overrightarrow{A_1} = (3\sqrt{7}, 9, 6) - (0, 0, 6) = (3\sqrt{7}, 9, 0)$.

3. Чтобы найти синус угла между этими прямыми, нужно использовать формулу для синуса угла между двумя векторами:

   $$\sin \theta = \frac{\|\vec{CD} \times \vec{A_1C_1}\|}{\|\vec{CD}\| \|\vec{A_1C_1}\|}$$

   где $\|\vec{CD} \times \vec{A_1C_1}\|$ — это длина векторного произведения двух векторов, а $\|\vec{CD}\|$ и $\|\vec{A_1C_1}\|$ — их длины.

4. Сначала найдём длины векторов $\vec{CD}$ и $\vec{A_1C_1}$