Сторона BC треугольника ABC лежит в плоскости α. Плоскость β, параллельная плоскости α, пересекает стороны AB и AC в точках B₁ и C₁, соответственно. Найдите отрезок BC, если B₁C₁ = 12 см, а AC₁ : C₁C = 3 : 5.

Задача состоит в том, чтобы найти длину отрезка $BC$, при этом нам даны два условия:

1. $B_1C_1 = 12$ см — длина отрезка, который лежит в плоскости $B$, параллельной плоскости $a$.
2. $\frac{AC_1}{C_1C} = \frac{3}{5}$, что означает отношение отрезков, на которые точка $C_1$ делит сторону $AC$.

Пояснение задачи

Мы имеем треугольник $ABC$, где его сторона $BC$ лежит в плоскости $a$, а плоскость $B$ параллельна плоскости $a$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$, соответственно. Даны следующие данные:

• $B_1C_1 = 12$ см — длина отрезка в плоскости $B$,
• $\frac{AC_1}{C_1C} = \frac{3}{5}$, то есть точка $C_1$ делит сторону $AC$ в отношении 3:5.

Для решения задачи воспользуемся свойствами подобных треугольников, так как плоскости $a$ и $B$ параллельны, а линии пересечения с боковыми сторонами треугольника дают подобие треугольников $ABC$ и $AB_1C_1$.

Шаг 1: Определение отношения масштабов

Так как плоскости параллельны, треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ являются подобными. Поскольку точки $B_1$ и $C_1$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$, то отношение длины отрезка $B_1C_1$ к длине отрезка $BC$ будет равно коэффициенту подобия этих треугольников.

Отношение длин сторон $AC_1$ и $C_1C$ равно $\frac{AC_1}{C_1C} = \frac{3}{5}$, то есть точка $C_1$ делит сторону $AC$ в отношении 3:5. Это отношение является также коэффициентом подобия для треугольников $AB_1C_1$ и $ABC$.

Шаг 2: Составление уравнения для длин сторон

Обозначим длину стороны $BC$ через $x$. Тогда по правилу подобия:

Мы знаем, что $B_1C_1 = 12$ см, и можем подставить это значение в уравнение:

Шаг 3: Решение уравнения

Решим это уравнение относительно $x$:

Ответ

Длина отрезка $BC$ равна 32 см.