Lyceum Westminster International University in Tashkent: sample exam 2011.

Пусть $P$ — точка пересечения $AT$ и $BN$.

Так как $BT=TC=6$, получаем:

Луч $BN$ — биссектриса прямого угла при $B$. Поэтому треугольник $ABN$ прямоугольный равнобедренный, значит:

Рассмотрим трапецию $ABTN$, где $AB\parallel NT$. Её диагонали $AT$ и $BN$ пересекаются в точке $P$.

Треугольники $BPT$ и $APN$ подобны. Коэффициент подобия:

Следовательно, их площади относятся как квадраты коэффициента:

Найдём площади больших треугольников:

Разность этих площадей равна:

Пусть:

Тогда:

Значит,

Треугольник $ABT$ состоит из $ABP$ и $BPT$, а треугольник $PNT$ имеет такую же площадь, как $ABP$. Поэтому: