Геометрия, 7 класс.
Найти: пары равных треугольников и докажите их равенство.
--------------------—
Решения с объяснениями.

Чтобы найти пары равных треугольников и доказать их равенство, нужно воспользоваться тремя признаками равенства треугольников, которые изучают в 7 классе.

Поскольку в условии нет рисунка с обозначениями точек, рассмотрим несколько примеров решений с подробными объяснениями.

1. Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Задача. Даны треугольники ABC и DEF. Известно, что:

• AB = DE;

• AC = DF;

• ∠BAC = ∠EDF.

Доказать: △ABC = △DEF.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и DEF.

1. AB = DE (по условию).

2. AC = DF (по условию).

3. ∠BAC = ∠EDF (по условию).

Следовательно, △ABC = △DEF по первому признаку равенства треугольников, то есть по двум сторонам и углу между ними.

Что и требовалось доказать.

2. Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Задача. Даны треугольники ABC и MNK. Известно:

• AB = MN;

• ∠A = ∠M;

• ∠B = ∠N.

Доказать: △ABC = △MNK.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и MNK.

1. AB = MN (по условию).

2. ∠A = ∠M (по условию).

3. ∠B = ∠N (по условию).

Стороны AB и MN равны, а также равны два угла, прилежащие к этим сторонам.

Следовательно, △ABC = △MNK по второму признаку равенства треугольников.

Что и требовалось доказать.

3. Третий признак равенства треугольников (по трём сторонам)

Задача. Даны треугольники ABC и DEF. Известно:

• AB = DE;

• BC = EF;

• AC = DF.

Доказать: △ABC = △DEF.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и DEF.

1. AB = DE (по условию).

2. BC = EF (по условию).

3. AC = DF (по условию).

Таким образом, три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника.

Следовательно, △ABC = △DEF по третьему признаку равенства треугольников.

Что и требовалось доказать.

4. Пример с общей стороной

Задача. В четырёхугольнике ABCD проведена диагональ AC. Известно, что AB = AD и BC = CD. Доказать равенство треугольников ABC и ADC.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и ADC.

1. AB = AD (по условию).

2. BC = DC (по условию).

3. AC = AC (общая сторона двух треугольников).

Следовательно, △ABC = △ADC по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Что и требовалось доказать.

Как правильно оформлять решение в тетради

Обычно достаточно написать:

Дано: равные стороны или углы, указанные на рисунке.

Доказать: △ABC = △DEF.

Доказательство:

1. Указываем первую пару равных элементов.

2. Указываем вторую пару равных элементов.

3. Указываем третью пару равных элементов.

4. Делаем вывод о равенстве треугольников по соответствующему признаку.

Ответ: △ABC = △DEF.

Главное — помнить, что для доказательства равенства треугольников необходимо найти один из трёх признаков: две стороны и угол между ними, сторону и два прилежащих угла либо три стороны.

Для определения конкретных пар равных треугольников в вашей задаче необходим сам рисунок, поскольку без него нельзя установить, какие именно треугольники требуется сравнить.