1) Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к соответственным сторонам, равны. 2) Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы соответственных углов равны.

Давайте разберём оба утверждения пошагово, как если бы я писал подробный ответ на сайте с вопросами и ответами.

1) В равных треугольниках высоты, проведённые к соответственным сторонам, равны

Дано: два равных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, то есть $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.

Что нужно доказать: высоты, проведённые к соответственным сторонам, равны.

Доказательство:

1. Пусть в $\triangle ABC$ высота к стороне $BC$ равна $h_a$, а в $\triangle A'B'C'$ высота к стороне $B'C'$ равна $h'_a$.

2. Так как треугольники равны, соответствующие стороны равны:

   $$BC = B'C'.$$

3. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту:

   $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a,$$ $$S_{\triangle A'B'C'} = \frac{1}{2} \cdot B'C' \cdot h'_a.$$

4. Так как треугольники равны, равны и их площади:

   $$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle A'B'C'}.$$

5. Подставим формулы площадей:

   $$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot B'C' \cdot h'_a.$$

6. Так как $BC = B'C'$, уравнение упрощается:

   $$h_a = h'_a.$$

Вывод: высоты, проведённые к соответственным сторонам равных треугольников, равны.

2) В равных треугольниках биссектрисы соответственных углов равны

Дано: $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.

Что нужно доказать: биссектрисы соответственных углов равны.

Доказательство:

1. Пусть $l_a$ — биссектриса угла $A$ в $\triangle ABC$, проведённая к стороне $BC$, а $l'_a$ — биссектриса угла $A'$ в $\triangle A'B'C'$, проведённая к стороне $B'C'$.

2. Формула длины биссектрисы угла треугольника (через стороны) такая:

   $$l_a = \frac{2 \sqrt{AB \cdot AC \cdot p \cdot (p - BC)}}{AB + AC},$$

   где $p = \frac{AB + BC + AC}{2}$ — полупериметр.

3. В равных треугольниках соответствующие стороны равны:

   $$AB = A'B', \quad AC = A'C', \quad BC = B'C'.$$