МАТЕРИАЛЫ К ЗАЧЁТУ ПО ГЕОМЕТРИИ
8 КЛАСС
ТЕМА: «ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ»
Билеты с вопросами для устного ответа учащихся
Билет №1.
1. Сформулируйте определение прямоугольника.
2. Перечислите свойства квадрата.
3. Сформулируйте и докажите свойство диагонали ромба.
Билет №2.
1. Сформулируйте определение параллелограмма.
2. Какая трапеция называется равнобедренной? Перечислите её свойства.
3. Сформулируйте и докажите свойство диагонали прямоугольника.
Билет №3.
1. Сформулируйте определение ромба.
2. Перечислите свойства параллелограмма.
3. Сформулируйте и докажите признак прямоугольника.
Билет №4.
1. Сформулируйте определение квадрата.
2. Перечислите свойства ромба.
3. Сформулируйте и докажите свойство противоположных сторон и углов параллелограмма.
Билет №5.
1. Какой четырёхугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции?
2. Сформулируйте свойство прямоугольника.
3. Сформулируйте и докажите свойство диагонали параллелограмма.

Билет №1

• Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

• Свойства квадрата: все стороны равны; все углы прямые; диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делят углы пополам и точкой пересечения делятся пополам.

• Свойство диагоналей ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Доказательство: Пусть ABCD — ромб, O — точка пересечения диагоналей. Треугольники AOB, BOC, COD, DOA равны по трём сторонам (AB=BC=CD=DA, диагонали точкой пересечения делятся пополам). Из равенства треугольников следует, что углы при вершине O равны 90°, а диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Билет №2

• Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

• Равнобедренная трапеция — трапеция с равными боковыми сторонами. Свойства: углы при каждом основании равны; диагонали равны; сумма противоположных углов равна 180°.

• Свойство диагоналей прямоугольника: диагонали прямоугольника равны. Доказательство: В прямоугольнике ABCD рассмотрим треугольники ABD и ACD. AB=CD, AD — общая, ∠A = ∠D = 90°. Треугольники равны по двум катетам, следовательно, BD=AC.

Билет №3

• Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

• Свойства параллелограмма: противоположные стороны равны и параллельны; противоположные углы равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам; сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

• Признак прямоугольника: если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником. Доказательство: Пусть в параллелограмме ABCD диагонали AC=BD. Треугольники ABD и DCA равны по трём сторонам (AB=DC, AD — общая, BD=AC). Тогда ∠A = ∠D. Так как в параллелограмме ∠A + ∠D = 180°, то ∠A = ∠D = 90°, значит, все углы прямые, ABCD — прямоугольник.

Билет №4

• Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (или ромб с прямыми углами).

• Свойства ромба: все стороны равны; противоположные углы равны; диагонали взаимно перпендикулярны, делят углы пополам и точкой пересечения делятся пополам.

• Свойство противоположных сторон и углов параллелограмма: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Доказательство: Проведём диагональ AC. Треугольники ABC и CDA равны по стороне (AC — общая) и двум прилежащим углам (∠BAC = ∠DCA как накрест лежащие при AB∥CD и секущей AC; ∠BCA = ∠DAC как накрест лежащие при BC∥AD и секущей AC). Из равенства треугольников следует AB=CD, BC=AD и ∠B = ∠D. Аналогично доказывается равенство углов A и C.

Билет №5

• Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями, непараллельные — боковыми сторонами.

• Свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны (и точкой пересечения делятся пополам).

• Свойство диагоналей параллелограмма: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Доказательство: Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Треугольники AOB и COD равны по стороне (AB=CD) и двум прилежащим углам (∠ABO = ∠CDO как накрест лежащие при AB∥CD и секущей BD; ∠BAO = ∠DCO как накрест лежащие при AB∥CD и секущей AC). Следовательно, AO=OC и BO=OD.

0 0 Пожаловаться