Биссектрисы всех углов выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c и d (расположенными по часовой стрелке) пересекаются в одной точке. Докажите, что a + c = b + d.

Доказательство.

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник, стороны которого расположены по часовой стрелке следующим образом:

По условию биссектрисы всех четырёх углов пересекаются в одной точке $O$.

Докажем, что

1. Рассмотрим расстояния от точки O до сторон четырёхугольника

Известно, что любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.

Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A$, расстояния от неё до прямых $AB$ и $AD$ равны.

Аналогично, поскольку $O$ лежит на биссектрисах углов $B$, $C$ и $D$, получаем, что расстояния от точки $O$ до всех четырёх сторон одинаковы.

Обозначим это расстояние через $r$.

Таким образом, внутри четырёхугольника существует окружность с центром $O$ и радиусом $r$, касающаяся всех его сторон.

2. Используем свойство отрезков касательных

Обозначим точки касания окружности со сторонами $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно через $K$, $L$, $M$ и $N$.

Воспользуемся известным свойством:

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны.

Поэтому:

• Из вершины $A$: $AK=AN$.

• Из вершины $B$: $BK=BL$.

• Из вершины $C$: $CL=CM$.

• Из вершины $D$: $DM=DN$.

Теперь выразим длины сторон через отрезки касательных:

3. Сложим длины противоположных сторон

Сначала найдём сумму $a+c$:

Учитывая равенства отрезков касательных, заменим:

Тогда

Перегруппируем слагаемые:

Но

а

Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Таким образом, если биссектрисы всех углов выпуклого четырёхугольника пересекаются