В правильной треугольной призме периметр основания равен 18 см. Диагональ боковой грани призмы образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите площадь сферы, описанной около призмы.

Основание — правильный треугольник, периметр 18 см, значит сторона \(a = 6\) см. Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол \(45^\circ\), поэтому высота призмы \(h = a = 6\) см.

Радиус описанной сферы \(R\) находим как расстояние от центра призмы до вершины. Центр сферы — середина отрезка, соединяющего центры оснований. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника: \(r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\) см. Тогда \(R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{12 + 9} = \sqrt{21}\) см.

Площадь сферы: \(S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 21 = 84\pi\) см².

0 0 Пожаловаться