Что значит: треугольники гомотетичны?

Гомотетичные треугольники — это треугольники, один из которых можно получить из другого с помощью гомотетии, то есть увеличения или уменьшения относительно определённой точки.

Проще говоря, два треугольника гомотетичны, если они имеют одинаковую форму, но могут отличаться по размеру.

Основные свойства гомотетичных треугольников

1. Соответствующие стороны параллельны. Прямые, на которых лежат соответствующие стороны двух треугольников, параллельны (если соответствующие стороны не лежат на одной прямой).

2. Соответствующие углы равны. Например, если один треугольник имеет углы $40^\circ$, $60^\circ$ и $80^\circ$, то гомотетичный ему треугольник будет иметь такие же углы.

3. Соответствующие стороны пропорциональны. Если сторона одного треугольника в два раза больше соответствующей стороны другого, то коэффициент гомотетии по модулю равен $2$ или $\frac12$, в зависимости от того, какой треугольник считается исходным.

4. Вершины соответствующих треугольников лежат на прямых, проходящих через центр гомотетии. При этом расстояния от центра до соответствующих вершин изменяются в одинаковое число раз.

Пример

Пусть у первого треугольника стороны равны $3$, $4$ и $5$ см, а у второго — $6$, $8$ и $10$ см.

Поскольку каждая сторона второго треугольника в два раза больше соответствующей стороны первого, треугольники подобны. Если при этом их соответствующие вершины расположены на лучах, выходящих из одной точки, так что расстояния от этой точки до вершин изменяются в одинаковое число раз, то треугольники гомотетичны. Коэффициент гомотетии по модулю равен $2$.

Чем гомотетичные треугольники отличаются от подобных?

Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные стороны. Гомотетичные треугольники также обладают этими свойствами, но между ними дополнительно существует преобразование с определённым центром гомотетии.

Итак, гомотетичные треугольники — это треугольники одинаковой формы, которые связаны увеличением или уменьшением относительно одной точки с сохранением пропорций.