Диагональ осевого сечения цилиндра равна 6 дм и наклонена к основанию под углом 60 градусов.

Ответы на вопрос

Отвечает Эминова Эмма.

Разберём задачу шаг за шагом.

Дано:

Диагональ осевого сечения цилиндра $d = 6$ дм, наклонена к основанию под углом $\alpha = 60^\circ$ .
В цилиндр вписана призма с основанием — равнобедренный треугольник с углом $120^\circ$ .

Шаг 1. Найдём радиус и высоту цилиндра.

Диагональ осевого сечения цилиндра — это отрезок, соединяющий точки на верхнем и нижнем основании, проходящий через боковую поверхность. Для цилиндра с радиусом $R$ и высотой $H$ диагональ осевого сечения $d$ образует прямоугольный треугольник с основанием $2R$ и высотой $H$ :

\cos \alpha = \frac{2R}{d}, \quad \sin \alpha = \frac{H}{d}

Подставим $\alpha = 60^\circ$ и $d = 6$ дм:

\cos 60^\circ = \frac{2R}{6} \implies \frac{1}{2} = \frac{2R}{6} \implies 2R = 3 \implies R = 1.5 \text{ дм}

\sin 60^\circ = \frac{H}{6} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{H}{6} \implies H = 3\sqrt{3} \text{ дм}

Шаг 2. Найдём площадь основания призмы.

В основании призмы равнобедренный треугольник с углом $120^\circ$ . Пусть боковые стороны равны $a$ , а основание напротив угла $120^\circ$ — $b$ . Для равнобедренного треугольника:

b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos 120^\circ = 2a^2 - 2a^2(-1/2) = 2a^2 + a^2 = 3a^2 \implies b = a\sqrt{3}

Площадь равнобедренного треугольника со сторонами $a, a, b$ :

S_\text{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2

Шаг 3. Вписывание треугольника в круг цилиндра.

Вписанный в круг треугольник с углом 120° имеет сторону напротив угла равную диаметру описанной окружности $2R = 3$ дм. Эта сторона $b = a\sqrt{3} = 3 \implies a = \sqrt{3}$ дм.

Проверим площадь основания:

S_\text{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \text{ дм²}

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия