Контрольная работа по теме «Подобные треугольники».
Вариант №2.
Задание 1. Отрезки KC и MN пересекаются в точке O, так что отрезок KM параллелен отрезку NC. Докажите, что треугольники KMO и NCO подобны. Найдите KM, если ON = 16 см, MO = 32 см, NC = 17 см.

Решение

Шаг 1. Докажем подобие треугольников $\triangle KMO$ и $\triangle NCO$

1. Рассмотрим условие задачи:

   • Отрезки $KM$ и $NC$ параллельны ($KM \parallel NC$).
   • Отрезки $KC$ и $MN$ пересекаются в точке $O$.

2. Построим доказательство подобия:

   • В треугольниках $\triangle KMO$ и $\triangle NCO$:
     • $\angle KMO = \angle NCO$ (соответственные углы при параллельных прямых $KM \parallel NC$ и секущей $MN$).
     • $\angle KOM = \angle CON$ (вертикальные углы).
   • Таким образом, два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника. По признаку равенства двух углов треугольники $\triangle KMO$ и $\triangle NCO$ подобны.

Шаг 2. Найдем длину отрезка $KM$

1. Используем свойства подобия треугольников:

   • В подобных треугольниках отношения соответствующих сторон равны: $$\frac{KM}{NC} = \frac{MO}{ON}.$$

2. Подставим известные значения:

   • $NC = 17$ см,
   • $MO = 32$ см,
   • $ON = 16$ см.

   Подставляем в формулу:

   $$\frac{KM}{17} = \frac{32}{16}.$$

3. Решим пропорцию:

   $$KM = 17 \cdot \frac{32}{16}.$$

4. Упростим выражение:

   • $\frac{32}{16} = 2$,
   • $KM = 17 \cdot 2 = 34$ см.

Ответ:

Треугольники $\triangle KMO$ и $\triangle NCO$ подобны. Длина отрезка $KM$ равна $34$ см.