В правильном тетраэдре точка E — середина ребра BD. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью ABC.

Дано: правильный тетраэдр $ABCD$, точка $E$ — середина ребра $BD$.

Найти: синус угла между прямой $AE$ и плоскостью $ABC$.

Решение

Пусть все рёбра правильного тетраэдра равны $a$.

1. Найдём длину отрезка $AE$.

Так как тетраэдр правильный, его грань $ABD$ является равносторонним треугольником.

Точка $E$ — середина стороны $BD$, следовательно, $AE$ — медиана, которая в равностороннем треугольнике является также высотой.

По теореме Пифагора:

Учитывая, что $AB=a$, а $BE=\frac a2$, получаем:

2. Найдём расстояние от точки $E$ до плоскости $ABC$.

Опустим из вершины $D$ перпендикуляр $DO$ на плоскость $ABC$.

В правильном тетраэдре точка $O$ является центром равностороннего треугольника $ABC$.

Высота равностороннего треугольника $ABC$ равна:

Так как центр равностороннего треугольника делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины, то:

Из прямоугольного треугольника $ADO$:

Теперь опустим из точки $E$ перпендикуляр $EF$ на плоскость $ABC$.

Поскольку $E$ — середина $BD$, а точка $B$ лежит в плоскости $ABC$, расстояние от точки $E$ до этой плоскости вдвое меньше расстояния от точки $D$: