Найдите отрезки от точки пересечения высот равнобедренного треугольника до его основания, если один из углов треугольника равен 120°, а боковая сторона равна 1.

Дано: равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB=AC=1$, один из углов равен $120^\circ$.

Найти: отрезки от точки пересечения высот треугольника до концов его основания.

Решение

Обозначим через $H$ точку пересечения высот треугольника, а через $D$ — основание высоты, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$.

1. Найдём углы треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, углы при его основании равны. Угол $120^\circ$ не может находиться при основании, поэтому:

Тогда:

2. Найдём половину основания.

В равнобедренном треугольнике высота $AD$ является также медианой и биссектрисой.

Следовательно,

Из прямоугольного треугольника $ABD$:

3. Найдём расстояние от точки пересечения высот до основания.

Поскольку $BH$ — высота треугольника, то $BH\perp AC$.

Следовательно,

В прямоугольном треугольнике $BDH$:

Подставим значения:

4. Найдём отрезки $BH$ и $CH$.

Из прямоугольного треугольника $BDH$:

По симметрии равнобедренного треугольника:

Ответ

Если требуются отрезки от точки пересечения высот до вершин основания, то

Если имеется в виду расстояние от точки пересечения высот до прямой основания, то