1.Через основание AD трапеция ABCD проведена плоскость a? BC не пренадлежит плоскости a.Докажите ,что прямая проходящая через середины сторон AB и CD ,параллельны плоскости a.

2.Дан треугольник BCE . Плоскость параллельная прямой CE ,пересекает BE в точке E1 ,а BC - в точке C1. Найдите BC1 если Е1 :СЕ = 3 : 8 ,ВС =28.

3.Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма АBCD . Докажите ,что прямая ,проходящщая через середины АЕ и Ве ,парллельна прямой CD.

Задача 1: Доказательство, что прямая, проходящая через середины сторон $AB$ и $CD$, параллельна плоскости $\alpha$.

Условие: Через основание $AD$ трапеции $ABCD$ проведена плоскость $\alpha$. $BC$ не принадлежит плоскости $\alpha$.

Доказательство:

1. Т.к. $AD$ — основание трапеции и лежит в плоскости $\alpha$, то $AB$ и $CD$ пересекают плоскость $\alpha$ только в своих концах, но не лежат в ней полностью.
2. Обозначим середины $AB$ и $CD$ как $M$ и $N$, соответственно.
3. Прямая $MN$, соединяющая середины $AB$ и $CD$, является средней линией трапеции $ABCD$. Это значит, что:
   • $MN \parallel AD$,
   • $MN \parallel BC$.
4. Поскольку $MN \parallel AD$, а $AD$ лежит в плоскости $\alpha$, то $MN \parallel \alpha$.
5. Также $MN$ не пересекает плоскость $\alpha$, так как она параллельна основанию $AD$ и проходит через середины $AB$ и $CD$, которые лежат выше или ниже плоскости $\alpha$.

Вывод: Прямая $MN$, проходящая через середины сторон $AB$ и $CD$, параллельна плоскости $\alpha$.

Задача 2: Найти $BC_1$.

Условие: Дан треугольник $BCE$. Плоскость, параллельная прямой $CE$, пересекает $BE$ в точке $E_1$, а $BC$ — в точке $C_1$. $E_1 : CE = 3 : 8$, $BC = 28$.

Решение:

1. Обозначим длину $CE = x$. Тогда $E_1 : CE = 3 : 8$ означает, что $E_1E = \frac{3}{8}x$ и $E_1C = \frac{5}{8}x$ (оставшаяся часть $CE$).
2. Т.к. плоскость параллельна $CE$, проекция точки $E_1$ на $BC$ даст точку $C_1$, делящую отрезок $BC$ в таком же отношении, как $E_1$ делит $CE$.
3. Это означает, что $BC_1 : BC = E_1 : CE = 3 : 8$.
4. Подставляем $BC = 28$: $$BC_1 = \frac{3}{8} \cdot 28 = 10.5.$$

Ответ: $BC_1 = 10.5$.

Задача 3: Доказательство параллельности прямой через середины $AE$ и $BE$ прямой $CD$.

Условие: Точка $E$ не лежит в плоскости параллелограмма $ABCD$.

Доказательство:

1. Пусть $M$ и $N$ — середины отрезков $AE$ и $BE$, соответственно.
2. $AE$ и $BE$ — отрезки, соединяющие вершины параллелограмма $A$ и $B$ с точкой $E$, которая не лежит в плоскости $ABCD$.
3. Рассмотрим векторы $\vec{AM}$ и $\vec{BN}$:
   • $\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AE}$,
   • $\vec{BN} = \frac{1}{2} \vec{BE}$