Линия пересечения сферы и
плоскости, которая отдалена от центра сферы на 8 см, имеет длину 12π см. Найти площадь поверхности сферы. (С рисунком)

Дано:

• Расстояние от центра сферы до плоскости: $d=8$ см.

• Длина окружности сечения: $C=12\pi$ см.

Найти: площадь поверхности сферы $S$.

Рисунок

Осевое сечение сферы. O — центр сферы, H — основание перпендикуляра к плоскости α.

Решение

1. Найдём радиус окружности сечения.

Плоскость пересекает сферу по окружности, длина которой равна $12\pi$ см.

Формула длины окружности:

Подставим известное значение:

Следовательно, $AH=6$ см.

2. Найдём радиус сферы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$.

В нём:

• $OH=8$ см — расстояние от центра сферы до плоскости;

• $AH=6$ см — радиус окружности сечения;

• $OA=R$ — радиус сферы.

Так как $OH\perp AH$, по теореме Пифагора:

3. Найдём площадь поверхности сферы.

Формула площади поверхности сферы:

Подставим $R=10$ см:

Ответ: $\boxed{400\pi\text{ см}^2}$.