1) Радиус шара равен 13 см. Тогда длина линии пересечения сферы плоскостью, проходящей на расстоянии 12 см от центра, равна...

2)Вершины прямоугольного треугольника с гипотенузой 24 см лежат в сфере. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 5 см. Тогда радиус сферы равен....

1. Радиус шара равен 13 см. Тогда длина линии пересечения сферы плоскостью, проходящей на расстоянии 12 см от центра, равна...

Для решения задачи представим себе, что данная сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R = 13$ см. Рассматриваем плоскость, которая проходит на расстоянии 12 см от центра сферы, то есть расстояние от центра сферы до плоскости равно 12 см.

Если провести перпендикуляр от центра сферы до плоскости, то длина этого перпендикуляра будет равна 12 см. Пересечение сферы с этой плоскостью образует окружность, радиус которой можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Пусть радиус этой окружности — $r$. Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

Подставляем известные значения:

Таким образом, длина линии пересечения сферы плоскостью, проходящей на расстоянии 12 см от центра, равна 5 см.

2. Вершины прямоугольного треугольника с гипотенузой 24 см лежат в сфере. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 5 см. Тогда радиус сферы равен....

Для решения этой задачи рассмотрим сферу с центром в точке $O$, радиус которой нам нужно найти. Вершины прямоугольного треугольника с гипотенузой 24 см лежат на поверхности этой сферы. Также известно, что расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 5 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см. Мы можем поместить его так, чтобы гипотенуза располагалась вдоль оси $x$, а одна из вершин (например, угол прямого угла) находилась в центре координат. Таким образом, гипотенуза является диаметром окружности, в которой лежат все вершины треугольника.

Так как прямоугольный треугольник лежит внутри сферы, его вершины должны быть на поверхности сферы. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника — это перпендикуляр от центра сферы до этой плоскости, равный 5 см. Для нахождения радиуса сферы можно воспользоваться теоремой Пифагора, поскольку расстояние от центра сферы до плоскости треугольника составляет 5 см, а гипотенуза треугольника является диаметром сферы.

Рассмотрим половину гипотенузы — это будет радиус сферы, так как сфера проходит через все вершины треугольника. Мы можем найти радиус сферы с помощью теоремы Пифагора. Расстояние от центра до плоскости — это одно из катетов, а радиус сферы и половина гипотенузы — это два других катета.