1) Периметр треугольника АБС равен 18, его углы А и Б связаны соотношением: 2(cos А + cos Б) = 3 + 2 cos(А + Б).
Найдите площадь треугольника, стороны которого равны биссектрисам треугольника АБС.

Обозначим \(x=\frac{A+B}{2}\). После преобразования данного условия получаем, что \(\cos x=\frac12\) и \(A=B\). Значит, \(A=B=C=60^\circ\), то есть треугольник \(АБС\) равносторонний.

Его сторона равна \(18:3=6\). Биссектриса равностороннего треугольника одновременно является высотой:

\[l=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3.\]

Треугольник, составленный из трёх таких биссектрис, равносторонний. Его площадь:

\[S=\frac{\sqrt3}{4}\left(3\sqrt3\right)^2=\frac{27\sqrt3}{4}.\]

Ответ: \(\frac{27\sqrt3}{4}\).

0 0 Пожаловаться