1. Число диагоналей выпуклого многоугольника в 7 раз больше числа его сторон. Сколько у него вершин?

Для решения этой задачи, сначала важно знать формулы для вычисления количества диагоналей и сторон в выпуклом многоугольнике.

Формула для нахождения числа диагоналей $D$ выпуклого многоугольника с $n$ вершинами выглядит так: $D = \frac{n(n - 3)}{2}$

Мы также знаем, что количество сторон $S$ многоугольника равно количеству его вершин, то есть $S = n$.

По условию задачи, число диагоналей в 7 раз больше числа сторон. То есть, $D = 7S$ или $\frac{n(n - 3)}{2} = 7n$

Теперь мы можем решить это уравнение для $n$: $n(n - 3) = 14n$ $n^2 - 3n = 14n$ $n^2 - 17n = 0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения: $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ где $a = 1$, $b = -17$, и $c = 0$.

Давайте найдем корни этого уравнения.

Уравнение имеет два корня: $0$ и $17$. Однако, $0$ не является допустимым решением, так как многоугольник не может иметь $0$ вершин. Следовательно, правильный ответ - многоугольник имеет $17$ вершин. ​​