В усечённом конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а его образующая равна 4 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём усечённого конуса.

Образующая равна \(4\) см и образует с плоскостью основания угол \(60^\circ\).

Высота усечённого конуса:

\[h=4\sin60^\circ=2\sqrt3.\]

Разность радиусов равна проекции образующей на основание:

\[R-r=4\cos60^\circ=2.\]

Осевое сечение — равнобедренная трапеция. Если её диагонали перпендикулярны, то сумма радиусов равна высоте:

\[R+r=h=2\sqrt3.\]

Решаем систему:

\[R=\sqrt3+1,\qquad r=\sqrt3-1.\]

Объём усечённого конуса:

\[V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2).\]

После подстановки получаем:

\[V=\frac{20\sqrt3\pi}{3}\text{ см}^3.\]

Ответ: \(\frac{20\sqrt3\pi}{3}\text{ см}^3\).

0 0 Пожаловаться