1) Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем и площадь. 2) Длина окружности основания конуса равна 8π, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности, объем и диаметр конуса. 3) Площадь основания конуса равна 16π, высота 6. Найдите длину образующей, длину окружности, площадь конуса и его объем.

Задание 1:

Дано:

• Высота конуса $h = 6$

• Образующая $l = 10$

Для нахождения объема и площади конуса, нужно использовать следующие формулы:

1. Объем конуса:

   $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

   где $r$ — радиус основания конуса, $h$ — высота, $\pi$ — число Пи.

   Для нахождения радиуса основания, используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей. У нас есть образующая $l = 10$ и высота $h = 6$, значит:

   $$l^2 = r^2 + h^2$$

   Подставим значения:

   $$10^2 = r^2 + 6^2$$ $$100 = r^2 + 36$$ $$r^2 = 100 - 36 = 64$$ $$r = \sqrt{64} = 8$$

   Теперь можем найти объем:

   $$V = \frac{1}{3} \pi (8)^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 6 = \frac{1}{3} \pi \cdot 384 = 128 \pi$$

   Объем конуса $V = 128 \pi$.

2. Площадь боковой поверхности:
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{бок}} = \pi r l$$

   Подставляем значения:

   $$S_{\text{бок}} = \pi \cdot 8 \cdot 10 = 80 \pi$$

   Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}} = 80 \pi$.

3. Площадь полной поверхности:
   Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и боковой поверхности. Площадь основания конуса:

   $$S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64 \pi$$

   Полная площадь поверхности:

   $$S_{\text{полная}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 64 \pi + 80 \pi = 144 \pi$$

   Площадь полной поверхности $S_{\text{полная}} = 144 \pi$.

Задание 2:

Дано:

• Длина окружности основания конуса $C = 8\pi$

• Образующая $l = 8$

1. Радиус основания:
   Длина окружности основания $C = 2 \pi r$, где $r$ — радиус основания.

   $$8 \pi = 2 \pi r$$ $$r = \frac{8 \pi}{2 \pi} = 4$$

2. Площадь боковой поверхности:
   Площадь боковой поверхности конуса:

   $$S_{\text{бок}} = \pi r l$$

   Подставляем значения:

   $$S_{\text{бок}} = \pi \cdot 4 \cdot 8 = 32 \pi$$

   Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}} = 32 \pi$.

3. Площадь полной поверхности:
   Площадь основания:

   $$S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16 \pi$$

   Полная площадь поверхности:

   $$S_{\text{полная}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 16 \pi + 32 \pi = 48 \pi$$

   Площадь полной поверхности $S_{\text{полная}} = 48 \pi$.

4. Объем конуса:
   Объем конуса:

   $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

   Для нахождения высоты