Y=√x+3 Постройте график функции и опишите ее св-ва

Давайте разберемся с функцией $Y = \sqrt{x + 3}$ и построим ее график.

1. Домены и области определения:

Для того, чтобы выражение $\sqrt{x + 3}$ имело смысл, подкоренное выражение $x + 3$ должно быть неотрицательным, то есть:

Отсюда получаем, что:

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, которые больше или равны -3. В виде интервала это будет:

2. Значения функции:

Функция $Y = \sqrt{x + 3}$ принимает значения, которые всегда неотрицательны, так как квадратный корень из любого неотрицательного числа всегда неотрицателен. Следовательно, $Y \geq 0$ для всех $x \in [-3, \infty)$.

• Когда $x = -3$, $Y = \sqrt{-3 + 3} = \sqrt{0} = 0$.
• Когда $x = 0$, $Y = \sqrt{0 + 3} = \sqrt{3} \approx 1.732$.
• Когда $x = 1$, $Y = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
• Когда $x = 4$, $Y = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7} \approx 2.646$.

Таким образом, функция возрастает при увеличении $x$, и значения $Y$ тоже растут.

3. Поведение графика:

• График функции начинается в точке $(-3, 0)$, так как это минимальное значение для $x$, где функция определена.
• Функция возрастает, так как с увеличением $x$ значение $Y$ увеличивается.
• График функции является частью кривой, которая выглядит как половина параболы, открывающейся вверх.

4. Асимптоты и ограничение:

• Для $x \to -3^+$ (то есть когда $x$ стремится к -3 справа), $Y \to 0$, что означает, что график "приближается" к оси абсцисс.
• Когда $x \to \infty$, $Y \to \infty$, то есть график будет стремиться вверх бесконечно.

5. Важные свойства:

• Монотонность: Функция возрастает на всей своей области определения, так как ее производная положительна.
• Непрерывность: Функция непрерывна для всех $x \geq -3$.
• Область значений: $Y \geq 0$, то есть область значений функции — это $[0, \infty)$.

6. Построение графика:

• Начнем с точки $(-3, 0)$.
• График будет плавно возрастать и приближаться к оси $Y$, становясь выше по мере увеличения $x$.
• Он будет изгибаться вверх, как корень из выражения, и будет иметь характерный вид кривой, напоминающей половину параболы.

В целом, график функции $Y = \sqrt{x + 3}$ представляет собой плавно возрастающую кривую, которая начинается с точки $(-3, 0)$ и продолжает расти вправо и вверх.