1. Трапеция АВСД (АД и ВС- основания) расположена вне плоскости альфа. Диагонали трапеции параллельны плоскости. Через вершины А и В проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость альфа в точках Е и Ф соответственно. Докажите, что ЕАВФ- параллелограмм. Постройте рисунок
2. На рисунке 1 плоскости альфа и бета параллельны. Прямая а пересекает плоскости альфа и бета соответственно в точках А и В, а прямая б- в точках С и Д. Каково взаимное положение прямых а и б? Поясните.
3. Дан параллелипипед АВСДА1В1С1Д1, все грани которого- прямоугольники , АД=4, ДС=8, СС1=6. Постройте сечение параллелипипеда плоскостью, проходящей через середину ребра ДС и параллельной плоскости АВ1С1, и найдите периметр сечения.

Задача 1: Докажите, что ЕАВФ — параллелограмм.

Условие:

Трапеция АВСД, в которой $АД$ и $ВС$ — основания, расположена вне плоскости $\alpha$. Диагонали трапеции параллельны плоскости $\alpha$. Через вершины $А$ и $В$ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $Е$ и $Ф$ соответственно.

Доказательство:

1. Так как диагонали трапеции $АС$ и $ВД$ параллельны плоскости $\alpha$, то эти диагонали лежат в параллельных плоскостях относительно плоскости $\alpha$. Это значит, что проекции этих диагоналей на плоскость $\alpha$ будут параллельными отрезками.
2. Прямые $АЕ$ и $ВФ$ параллельны между собой (по условию) и пересекают плоскость $\alpha$. Таким образом, отрезки $ЕА$ и $ВФ$ являются проекциями параллельных прямых на плоскость $\alpha$.
3. В силу того, что прямые $АЕ$ и $ВФ$ параллельны и находятся в одной плоскости, и диагонали трапеции $АС$ и $ВД$ параллельны плоскости $\alpha$, отрезки $ЕА$ и $ВФ$ будут также параллельны.
4. Следовательно, $ЕА \parallel ВФ$ и $ЕФ \parallel АВ$, что по определению означает, что четырёхугольник $ЕАВФ$ является параллелограммом.

Задача 2: Взаимное положение прямых $а$ и $б$.

Условие:

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Прямая $а$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $А$ и $В$, а прямая $б$ пересекает их в точках $С$ и $Д$.

Пояснение:

1. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, а значит, если прямые $а$ и $б$ пересекают обе плоскости, то можно рассматривать их проекции на эти плоскости.
2. Рассмотрим точки пересечения: прямая $а$ пересекает $\alpha$ в точке $А$, а $\beta$ в точке $В$. Аналогично, прямая $б$ пересекает $\alpha$ в точке $С$, а $\beta$ — в точке $Д$.
3. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, отрезки $АВ$ и $СД$ будут параллельны друг другу. Это значит, что прямые $а$ и $б$ лежат в разных плоскостях и не пересекаются, однако они не параллельны в пространстве.
4. Следовательно, взаимное положение прямых $а$ и $б$ — это скрещивающиеся прямые.

Задача 3: Построение сечения параллелепипеда.

Условие:

Дан параллелепипед $АВСДА_1В_1С_1Д_1$, все грани которого — прямоугольники. Известны размеры: $АД = 4$, $ДС = 8$, $СС_1 = 6$. Нужно построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра $ДС$ и параллельной плоскости $АВ_1С_1$, и найти периметр сечения.

Решение:

1. Сначала найдем середину ребра $ДС$. Пусть эта точка — точка $М$, где $М$ — середина отрезка $ДС$, следовательно, координаты этой точки равны $М(ДС) = (2, 0, 0)$, если начать координаты от $А$ в точке $(0, 0, 0)$.

2. Плоскость, параллельная плоскости $АВ_1С_1$, будет иметь такое же направление, как эта плоскость. Это значит, что в сечении получится четырёхугольник с параллельными сторонами.

3. Рассмотрим вершины сечения. Сечение пройдет через точку $М$ (середина ребра $ДС$) и будет параллельно плоскости $АВ_1С_1$. Другими словами, сечение будет содержать проекции точек плоскости $АВ_1С_1$ на плоскость сечения.

4. Определим длины сторон сечения: так как сечение параллельно плоскости $АВ_1С_1$, оно будет параллельно ребрам параллелепипеда. Таким образом, стороны сечения будут соответствовать длинам рёбер параллелепипеда:

   • Один из отрезков будет равен половине длины ребра $ДС$, т.е. $4$.
   • Другие стороны будут равны проекциям других рёбер, пересекаемых сечением.

5. Чтобы найти периметр сечения, сложим длины всех сторон: две противоположные стороны сечения будут равны длине ребра $СС_1$, то есть $6$, а другие две — половине длины $ДС$, то есть $4$.

Периметр сечения $P = 2 \times 4 + 2 \times 6 = 8 + 12 = 20$.

Ответ: периметр сечения равен 20.