Y=3(x-2)^2 на отрезке наидите наименьшее значение [-2:5]

Для нахождения наименьшего значения функции $Y = 3(x-2)^2$ на отрезке $[-2; 5]$, нам нужно исследовать поведение функции на этом отрезке, а именно:

1. Определим вид функции:
   Функция $Y = 3(x-2)^2$ представляет собой параболу, открывающуюся вверх, поскольку коэффициент перед квадратом положительный (3).

2. Найдем производную функции:
   Для нахождения экстремумов функции, сначала найдем её производную:

   $$Y'(x) = 6(x-2)$$

3. Найдем критические точки:
   Критические точки возникают при $Y'(x) = 0$. Решим уравнение:

   $$6(x-2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

4. Проверим значение функции в критической точке:
   Мы нашли критическую точку $x = 2$. Подставим это значение в исходную функцию:

   $$Y(2) = 3(2-2)^2 = 3(0)^2 = 0$$

   Таким образом, в точке $x = 2$ значение функции равно 0.

5. Проверим значения функции на концах отрезка:
   Теперь нужно подставить значения концов отрезка $x = -2$ и $x = 5$ в исходную функцию:

   Для $x = -2$:

   $$Y(-2) = 3(-2 - 2)^2 = 3(-4)^2 = 3 \times 16 = 48$$

   Для $x = 5$:

   $$Y(5) = 3(5 - 2)^2 = 3(3)^2 = 3 \times 9 = 27$$

6. Сравним значения функции:
   На отрезке $[-2; 5]$ функция принимает следующие значения:

   • $Y(-2) = 48$

   • $Y(2) = 0$

   • $Y(5) = 27$

Наименьшее значение функции на данном отрезке — это $Y = 0$, которое достигается в точке $x = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 5]$ равно 0.