Найдите наименьшее значение функции \( y = -\frac{4}{x} - x \) на отрезке \([-2,5; -1]\).

Для нахождения наименьшего значения функции $y = -\frac{4}{x} - x$ на отрезке $[-2,5; -1]$ нужно выполнить несколько шагов:

1. Анализ функции

Дано уравнение функции:

Эта функция состоит из двух частей: дроби $-\frac{4}{x}$ и линейного выражения $-x$.

2. Находим производную функции

Чтобы найти экстремумы функции, нужно взять её производную. Для этого применим правила дифференцирования.

Производная от $-\frac{4}{x}$ — это $\frac{4}{x^2}$, а производная от $-x$ — это $-1$.

Таким образом, производная функции будет:

3. Найдем критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

Решим это уравнение:

Однако, поскольку мы ищем минимум на отрезке $[-2,5; -1]$, то рассматриваем только значение $x = -2$, так как оно находится на этом отрезке.

4. Проверим граничные точки

Теперь нам нужно проверить значения функции в граничных точках отрезка $[-2,5; -1]$, то есть в точках $x = -2$ и $x = -1$.

Подставим $x = -2$ в исходную функцию:

Подставим $x = -1$ в исходную функцию:

5. Вывод

На отрезке $[-2,5; -1]$ значение функции при $x = -2$ равно 4, а при $x = -1$ — 5. Следовательно, наименьшее значение функции на данном отрезке достигается при $x = -2$ и равно $4$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-2,5; -1]$ равно 4.