Найдите наибольшее и наименьшее значение функции \( y = x + \frac{4}{x} \) на отрезке \([1; 3]\). Решение полностью.

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x + \frac{4}{x}$ на отрезке $[1; 3]$, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Находим производную функции

Сначала вычислим производную функции $y = x + \frac{4}{x}$, чтобы найти критические точки.

Используем правило дифференцирования для каждого из членов:

Тогда производная функции:

Шаг 2: Находим критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

Решим это уравнение:

Таким образом, критическая точка на отрезке $[1; 3]$ — это $x = 2$.

Шаг 3: Находим значения функции в критических точках и на концах отрезка

Теперь вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка $[1; 3]$.

1. При $x = 1$:

2. При $x = 2$:

3. При $x = 3$:

Шаг 4: Определяем наибольшее и наименьшее значение

Теперь сравним все полученные значения функции:

• $y(1) = 5$

• $y(2) = 4$

• $y(3) \approx 4.3333$

Из этих значений наибольшее значение функции на отрезке $[1; 3]$ равно $y(1) = 5$, а наименьшее значение — $y(2) = 4$.

Ответ:

Наибольшее значение функции на отрезке $[1; 3]$ равно $5$, а наименьшее — $4$.