Найдите наименьшее значение функции \( y = x^3 - 27x \) на отрезке \([0; 4]\).

Для того чтобы найти наименьшее значение функции $y = x^3 - 27x$ на отрезке $[0; 4]$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции:

   Производная функции $y = x^3 - 27x$ будет:

   $$y' = 3x^2 - 27$$

2. Найдем критические точки:

   Критические точки функции находятся, когда производная равна нулю:

   $$3x^2 - 27 = 0$$

   Решим это уравнение:

   $$3x^2 = 27 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3$$

   Поскольку нас интересует отрезок $[0; 4]$, то точка $x = -3$ не подходит. Оставляем только точку $x = 3$.

3. Проверим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   Теперь вычислим значения функции в точках $x = 0$, $x = 3$ и $x = 4$.

   • При $x = 0$:

     $$y(0) = 0^3 - 27 \cdot 0 = 0$$

   • При $x = 3$:

     $$y(3) = 3^3 - 27 \cdot 3 = 27 - 81 = -54$$

   • При $x = 4$:

     $$y(4) = 4^3 - 27 \cdot 4 = 64 - 108 = -44$$

4. Решение:

   На отрезке $[0; 4]$ функция принимает следующие значения:

   • $y(0) = 0$

   • $y(3) = -54$

   • $y(4) = -44$

   Наименьшее значение функции на этом отрезке равно $-54$, оно достигается в точке $x = 3$.