Найдите точку максимума функции y=x в кубе + 2x в квадрате + х + 3

Ответы на вопрос

Отвечает Романова Софья.

Для нахождения точки максимума функции $y = x^3 + 2x^2 + x + 3$ необходимо выполнить несколько шагов.

Производная функции $y = x^3 + 2x^2 + x + 3$ будет:

\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x + 1

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

3x^2 + 4x + 1 = 0

Решаем квадратное уравнение:

x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{-4 \pm 2}{6}

Таким образом, получаем два корня:

x_1 = \frac{-4 + 2}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}

x_2 = \frac{-4 - 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1

Это критические точки: $x_1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = -1$ .

Для этого используем вторую производную функции. Найдем вторую производную:

\frac{d^2y}{dx^2} = 6x + 4

Теперь подставим значения $x_1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = -1$ в вторую производную.

\frac{d^2y}{dx^2} = 6 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) + 4 = -2 + 4 = 2

Так как вторая производная положительна, точка $x_1 = -\frac{1}{3}$ является точкой минимума.

\frac{d^2y}{dx^2} = 6 \cdot (-1) + 4 = -6 + 4 = -2

Так как вторая производная отрицательна, точка $x_2 = -1$ является точкой максимума.

Таким образом, точка максимума функции $y = x^3 + 2x^2 + x + 3$ находится в $x = -1$ .

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос