Найдите точку максимума функции y= - (x^2+9)/x

Чтобы найти точку максимума функции $y = -\frac{x^2 + 9}{x}$, необходимо воспользоваться методами дифференцирования и анализа поведения производной функции. Давайте пройдем этот процесс шаг за шагом.

1. Преобразование функции

Функцию $y = -\frac{x^2 + 9}{x}$ можно немного упростить. Разделим числитель на $x$:

Теперь функция имеет вид:

2. Найдём производную функции

Чтобы найти экстремумы функции, найдем её производную $y'$. Напомним, что для нахождения экстремумов нужно найти критические точки, то есть те значения $x$, при которых производная $y'$ равна нулю или не существует.

Итак, найдем производную $y$ по $x$:

3. Приравняем производную к нулю

Теперь, чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

Переносим $-1$ в правую часть уравнения:

Умножим обе части на $x^2$:

Получаем два возможных значения для $x$:

4. Определим характер критических точек

Теперь нам нужно определить, является ли каждая из найденных точек $x = 3$ и $x = -3$ точкой максимума или минимума. Для этого исследуем знаки производной $y'$ на интервалах, разделяемых этими точками: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$, и $(3, \infty)$.

Подставим значения из каждого интервала в производную $y'$:

• Для $x \in (-\infty, -3)$: Например, при $x = -4$:

  $$y' = -1 + \frac{9}{(-4)^2} = -1 + \frac{9}{16} < 0$$

  Здесь производная отрицательна, что говорит о том, что функция убывает.

• Для $x \in (-3, 3)$: Например, при $x = 1$:

  $$y' = -1 + \frac{9}{1^2} = -1 + 9 = 8 > 0$$

  Здесь производная положительна, функция возрастает.

• Для $x \in (3, \infty)$: Например, при $x = 4$:

  $$y' = -1 + \frac{9}{4^2} = -1 + \frac{9}{16} < 0$$

  Здесь производная снова отрицательна, функция убывает.

Таким образом, при $x = 3$ функция переходит от возрастания к убыванию, что означает, что в этой точке достигается локальный максимум.

5. Найдём значение функции в точке максимума

Теперь подставим $x = 3$ в исходную функцию, чтобы найти значение $y$ в этой точке:

Ответ

Точка максимума функции $y = -\frac{x^2 + 9}{x}$ находится в точке $x = 3$, а значение функции в этой точке равно $y = -6$.