а) Решите уравнение \( 8^x - 3 \cdot 4^x - 2^x + 3 = 0 \). б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку \([1,5; 3]\).

Решение уравнения:

Итак, дано уравнение:

Шаг 1: Преобразуем выражения с одинаковыми основаниями

Мы видим, что $8^x$ и $4^x$ можно выразить через $2^x$:

Таким образом, уравнение примет вид:

Шаг 2: Обозначим $y = 2^x$

Теперь обозначим $y = 2^x$, и у нас получится кубическое уравнение:

Шаг 3: Решаем кубическое уравнение

Для решения кубического уравнения попробуем найти его корни методом подбора. Подставим различные значения для $y$:

• Для $y = 1$:

Итак, $y = 1$ является корнем уравнения. Теперь разделим кубическое уравнение на $(y - 1)$ с помощью деления многочленов.

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение:

Используем дискриминант:

Корни квадратного уравнения:

Таким образом, $y = 3$ или $y = -1$.

Шаг 5: Переводим обратно в $x$

Напоминаем, что $y = 2^x$. Поэтому, для каждого из корней $y$ решим уравнение $2^x = y$:

• Для $y = 1$: $2^x = 1$, отсюда $x = 0$.

• Для $y = 3$: $2^x = 3$, отсюда $x = \log_2 3$.

• Для $y = -1$: $2^x = -1$ не имеет решения, так как $2^x$ всегда положительно.

Таким образом, мы нашли два корня: $x = 0$ и $x = \log_2 3$.

Шаг 6: Уточнение корней на отрезке $[1,5; 3]$

Необходимо найти корни, которые принадлежат отрезку $[1,5; 3]$.

• $x = 0$ не входит в этот отрезок.

• $x = \log_2 3$ примерно равно 1.585, что входит в отрезок $[1,5; 3]$.

Таким образом, единственный корень уравнения, который принадлежит отрезку $[1$