Ре­ши­те не­ра­вен­ство x^2+x>0

Чтобы решить неравенство $x^2 + x > 0$, сначала перепишем его в более удобном виде:

Теперь вынесем общий множитель $x$ за скобки:

Это произведение двух выражений: $x$ и $x + 1$. Нам нужно определить, при каких значениях $x$ произведение этих выражений будет положительным.

Для этого рассмотрим, при каких значениях $x$ оба множителя будут иметь одинаковый знак. Для этого найдем нули каждого множителя:

1. $x = 0$ — корень первого множителя.

2. $x + 1 = 0$ — $x = -1$ — корень второго множителя.

Таким образом, множители меняют знак в точках $x = 0$ и $x = -1$.

Теперь разделим числовую ось на интервалы, исходя из этих значений:

• Интервал 1: $x < -1$

• Интервал 2: $-1 < x < 0$

• Интервал 3: $x > 0$

Рассмотрим знаки выражения $x(x + 1)$ на этих интервалах:

1. При $x < -1$ оба множителя отрицательны, так как $x$ отрицателен и $x + 1$ также отрицателен. Произведение двух отрицательных чисел положительно. Значит, на интервале $x < -1$ выражение $x(x + 1) > 0$.

2. При $-1 < x < 0$ первый множитель $x$ отрицателен, а второй множитель $x + 1$ положителен. Произведение одного отрицательного и одного положительного числа отрицательно. Значит, на интервале $-1 < x < 0$ выражение $x(x + 1) < 0$.

3. При $x > 0$ оба множителя положительны, так как и $x$, и $x + 1$ положительны. Произведение двух положительных чисел положительно. Значит, на интервале $x > 0$ выражение $x(x + 1) > 0$.

Таким образом, выражение $x(x + 1) > 0$ выполняется на интервалах $x < -1$ и $x > 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.