Решить уравнение log₃ (x³ - x) - log₃ x = 1 (x³ означает икс в третьей степени)

Решение

1. Область допустимых значений (ОДЗ).
   Логарифм определён только для положительных аргументов, поэтому одновременно должно выполняться

   $$x>0,\qquad x^{3}-x>0.$$

   Разложим второй множитель:

   $$x^{3}-x = x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1).$$

   Для $x>0$ знак $x+1$ всегда положителен, поэтому условие $x(x-1)>0$ даёт $x>1$.
   Итоговая ОДЗ: $x>1$.

2. Преобразуем уравнение.

   $$\log_{3}(x^{3}-x)-\log_{3}x = 1.$$

   Используем свойство логарифмов $\log_{a}A-\log_{a}B=\log_{a}\frac{A}{B}$:

   $$\log_{3}\!\Bigl(\frac{x^{3}-x}{x}\Bigr)=1 \;\Longrightarrow\; \log_{3}(x^{2}-1)=1.$$

3. Переходим к показательному виду.

   $$x^{2}-1 = 3^{1}=3 \;\Longrightarrow\; x^{2}=4 \;\Longrightarrow\; x=\pm2.$$

4. Проверка с учётом ОДЗ.
   Из ОДЗ $x>1$, значит принимается только $x=2$.